De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: Collineaire punten

Hoe kun je de volgende formule van Euler bewijzen:
e^{$\Phi$ i} = cos$\Phi$ + i sin$\Phi$?

Antwoord

Door te vertrekken van de machtreeks voor exp(z). Dat is trouwens de *definitie* van exp(z) in de hogere wiskunde.

exp(z) = 1 + z + z²/2! + z³/3! + z⁴/4! + ...

zodat

exp(iz) = 1 + iz - z²/2! - iz³/3! + z⁴/4! + ...
exp(-iz) = 1 - iz - z²/2! + iz³/3! + z⁴/4! + ...

Sinus en cosinus worden nu hieruit *gedefinieerd* als

sin(z) = (1/(2i))[exp(iz)-exp(-iz)] [*]
cos(z) = (1/2)[exp(iz)+exp(-iz)] [**]

Hieruit kan je een veelheid van eigenschappen bewijzen die je al kent, zoals sin²(z)+cos²(z) of de verdubbelingsformules.

Vermenigvuldig [*] met i en tel er [**] bij op om het gevraagde te bekomen. Eigenlijk is dat dus een gevolg van de definities van sin(z) en cos(z) en niet echt een te bewijzen stelling...

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Bewijzen
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	20-5-2024